2. 考研
  3. 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为A的指数分布． (Ⅰ)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度

汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为A的指数分布． (Ⅰ)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度

admin2018-11-23  31
问题 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为A的指数分布．
    (Ⅰ)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；
    (Ⅱ)求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度．
选项
答案首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间Xi(i＝1，2，3)之间的关系．假设第i辆车加油时间为Xi(i＝1，2，3)，则Xi独立同分布，且概率密度都为 [*] 依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T＝min(X1，X2)，度过时间＝等待时间＋加油时间，即 S＝T＋X3＝min(X1，X2)＋X3． (Ⅰ)由于T＝min(X1，X2)，其中X1与X2独立，所以T的分布函数 FT(t)＝P{min(X1，X2)≤t}＝1－P{min(X1，X2)＞t}＝1－P{X1＞t}P{X2＞t} ＝[*] T的密度函数fT(t)＝[*]即T＝min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布． (Ⅱ)S＝T＋X3＝min(X1，X2)＋X3，T与X3独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为 fS(s)＝∫－＋∞fT(t)(s－t)dt＝∫0＋∞2λe－2λtf3(s－t)dt [*]∫s－∞2λe－2λ(s－χ)f3(χ)d(－χ)＝∫－∞s2λe－2λs.e2λχf3(χ)dχ ＝[*]
解析
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考研数学一

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