以下四个命题,正确的个数为( ) ①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=。

admin2019-06-29  75

问题 以下四个命题,正确的个数为(     )
①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0。
②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=
③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散,则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。
④若∫-∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散,则∫-∞+∞f(x)dx未必发散。

选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。

答案A

解析-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a,使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛,此时
    ∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。
设f(x)=x,则f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且。但是
-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=-∞,∫0+∞f(x)dx=∫-∞+∞xdx=+∞,
故∫-∞+∞f(x)dx发散,这表明命题①,②,④都不是真命题。
设f(x)=x,g(x)=-x,由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散,
但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题。故选A。
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