求下列微分方程的通解: (Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=cosxcos2x.

admin2018-11-21  22

问题 求下列微分方程的通解:
(Ⅰ)  y"一3y’=2—6x;    (Ⅱ)  y"+y=cosxcos2x.

选项

答案(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解,由于其特征方程为λ2—3λ=λ(λ一3)=0,所以通解为 [*](x)=C1+C2e3x. 再求非齐次方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具形 式y*(x)=x(Ax+B),代入原方程,得 [y*(x)]"一3[y*(x)]’=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x. 比较方程两端的系数,得[*],解得A=1,B=0,即特解为y*(x)=x2.从而,原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x,其中C1,C2为任意常数. (Ⅱ)由于cosxcos2x=[*](cosx+cos3x),根据线性微分方程的叠加原理,可以分别求出y"+y=[*]cos3x的特解y1*(x)与y2*(x),相加就是原方程的特解. 由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C1cosx+C2sinx;同时y"+y=[*]cosx的特解应具有形式:y1*(x)=Axcosx+Bxsinx,代入原方程,可求得A=0,B=[*].即sinx. 另外,由于3i不是特征根,所以另一方程的特解应具有形式y*(x)=Ccos3x+Dsin3x,代入原方程,可得C=一[*],D=0.这样,即得所解方程的通解为 y(x)=[*]cos3x+C1cosx+C2sinx,其中C1,C2为任意常数.

解析
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