(Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性； (Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．

admin2018-03-30 42

问题 (Ⅰ)设A=

，其中s，n是正整数，证明A^TA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵A^TA的正定性；
(Ⅱ)B=

，B^TB是否正定?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)(A^TA)^T=A^T(A^T)^T—A^TA，则A^TA是实对称矩阵．当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0，使得Ax=0，从而使x^TA^TAx=0，故当s＞n时，A^TA不是正定矩阵．当s=n时，范德蒙德行列式｜A｜≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A^TA是正定矩阵．当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax)^TAx=x^TA^TAx＞0，从而A^TA是正定矩阵．故当s≤n时，A^TA是正定矩阵． (Ⅱ)因(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，则B^TB是实对称矩阵．又｜B｜=10!｜A｜＞0(其中A是(Ⅰ)中s=10，n=10的矩阵)，故B^TB是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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