设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.

admin2019-09-27  4

问题 设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.

选项

答案令φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt. 因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ′(ξ)=0. 而φ′(x)=∫0xf(t)dt+(x-1)f(x),故∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.

解析 由∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0,得∫0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0,从而
(x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt)′=0,辅助函数为φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt.
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