设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. 求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (Ⅲ)

admin2019-07-16  51

问题 设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi,i=1,2,…,n.
    求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n;
    (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn);
    (Ⅲ)若c(Y1+Yn)2是σ2的无偏估计量,求常数c.

选项

答案[*] (Ⅱ)Cov(Y1,Yn)=Cov(X1-[*]一,Xn-[*])=Cov(X1,Xn)-Cov(X1,[*])-Cov([*],Xn)+D([*]) [*] (Ⅲ)由题意,E[c(Y1+Yn)2]=σ2. 而E[c(Y1+Yn)2]=c[E(Y1)2+E(Yn)2+2E(Y1Yn)] 而E(Y1)=E(X1-[*])=E(X1)-E([*])=0-0-0, ∴E(Y1)2=DY1+E(Y1)2=DY1=[*]σ2. 同理E(Yn)2=[*]σ2. 又E(Y1Yn)=Cov(Y1,Yn)+E(Y1)E(Yn)=Coy(Y1,Yn)=[*]σ2 故得σ2=E[c(Y1+Yn)2]=[*], ∴c=[*].

解析
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