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设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. 求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (Ⅲ)
设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. 求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (Ⅲ)
admin
2019-07-16
51
问题
设X
1
,X
2
,…,X
n
(n>2)为来自总体N(0,σ
2
)的简单随机样本,其样本均值为
.记Y
i
=X
i
-
,i=1,2,…,n.
求:(Ⅰ)求Y
i
的方差DY
i
,i=1,2,…,n;
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差Cov(Y
1
,Y
n
);
(Ⅲ)若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量,求常数c.
选项
答案
[*] (Ⅱ)Cov(Y
1
,Y
n
)=Cov(X
1
-[*]一,X
n
-[*])=Cov(X
1
,X
n
)-Cov(X
1
,[*])-Cov([*],X
n
)+D([*]) [*] (Ⅲ)由题意,E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=σ
2
. 而E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=c[E(Y
1
)
2
+E(Y
n
)
2
+2E(Y
1
Y
n
)] 而E(Y
1
)=E(X
1
-[*])=E(X
1
)-E([*])=0-0-0, ∴E(Y
1
)
2
=DY
1
+E(Y
1
)
2
=DY
1
=[*]σ
2
. 同理E(Y
n
)
2
=[*]σ
2
. 又E(Y
1
Y
n
)=Cov(Y
1
,Y
n
)+E(Y
1
)E(Y
n
)=Coy(Y
1
,Y
n
)=[*]σ
2
故得σ
2
=E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=[*], ∴c=[*].
解析
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考研数学三
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