2. 考研
  3. (I)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交，证明：β=0， (Ⅱ)设α1，α2，…，αn－1为n－1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn－1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关

(I)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交，证明：β=0， (Ⅱ)设α1，α2，…，αn－1为n－1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn－1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关

admin2016-03-18  29
问题 (I)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交，证明：β=0，
(Ⅱ)设α1，α2，…，αn－1为n－1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn－1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关
选项
答案(I)令[*]，因为α1，α2，．．．，αn线性无关，所以r(A)=n，又因为α1，α2，．．．，αn与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量 (Ⅱ)方法一： 令[*]，B=(β1，β2)，因为α1，α2，．．．，αn－1线性无关，所以r(A)=n－1，又因为α1，α2，．．．，αn－1与线性正交，所以AB=0，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n－1，所以r(B)≤1，即β1，β2线性相关 方法二： 令[*]，因为α1，α2，．．．，αn－1线性无关，所以r(A)=n－1，因为α1，α2，．．．，αn－1与β1，β2正交，所以β1，β2为方程组AX=0的两个解，而方程AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关
解析
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考研数学一

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