设α1,α2,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

admin2022-04-02  51

问题 设α1,α2,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

选项

答案方法一 由α1,α2,…,αt线性无关[*]βα1,α2,…,αt线性无关,令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+……+kt(β+αt)=0, 即(k+k1+……+kt)β+k1α1+…+ktαt0, ∵β,α1,α2,…,αt线性无关 [*]k=k1=……=kt=0, ∴β,β+α1,……,β+αt线性无关 方法二 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0, [*](k+k1+……+kt)β=-k1α1-……-ktαt, [*](k+k1+……+kt)Aβ=-k11-……-ktt=0, ∵Aβ≠0,∴k+k1+…+kt=0,∴k1α1+…+ktαt=0[*]k=k1=……=kt=0, 所以β,β+α1,……,β+αt线性无关.

解析
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