2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1． 证明： (1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1． 证明： (1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．

admin2021-01-19  40
问题 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1．
证明：
    (1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ；
    (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．
选项
答案(1)令F(x)＝f(x)－1＋x，则F(x)在[0．1]上连续，且F(0)＝－1＜0，F(1)＝1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)使得F(∈)＝0，即f(ξ)＝1－ξ． (2)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得[*] 于是[*]
解析 (1)显然用闭区间上连续函数的介值定理；(2)为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用(1)的结论．
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考研数学二

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