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设A为3阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1,相应的特征向量为α=(1,1,1)T. (I)求正交矩阵Q; (Ⅱ)求二次型xT(A*)-1x的表达式,并确定其正负惯性指数.
设A为3阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1,相应的特征向量为α=(1,1,1)T. (I)求正交矩阵Q; (Ⅱ)求二次型xT(A*)-1x的表达式,并确定其正负惯性指数.
admin
2017-07-11
75
问题
设A为3阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得
又已知A的伴随矩阵A
*
有一个特征值为λ=1,相应的特征向量为α=(1,1,1)
T
.
(I)求正交矩阵Q;
(Ⅱ)求二次型x
T
(A
*
)
-1
x的表达式,并确定其正负惯性指数.
选项
答案
(1)由题设条件可知,[*]从而矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=1, λ
3
=一2,且|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=一2. 又由A
*
α=α,知AA
*
α=Aα,即Aα=|A|α=一2α,可见α
3
=α=(1,1,1)
T
是A的属于特征值λ
3
=一2的一个特征向量. 设λ
1
=λ
2
=1的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则α
3
T
x=0,即x
1
+x
2
+x
3
=0.求得基础解系α
1
=(一1,1,0)
T
,α
2
=(一1,0,1)
T
,即为特征值λ
1
=λ
2
=1所对应的两个线性无关的特征向量. 先将α
1
,α
2
正交化,得β
1
=α
1
=(一1,1,0)
T
, [*] 再将β
1
,β
2
,α
3
单位化,得 [*] [*] 则Q即为所求的正交矩阵,即有Q
T
AQ [*] (Ⅱ)因[*]而|A|=一2,故要求得矩阵A即可,这可由A的特征值、特征向量求得.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/1tSRFFFM
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考研数学三
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