设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

admin2018-12-29 26

问题设三阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃= —2，α₁=(1，—1，1)^T是A的属于特征值λ₁的一个特征向量，记B=A⁵—4A³+E，其中E为三阶单位矩阵。
验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

选项

答案由Aα₁=α₁，得A²α₁=Aα₁=α₁，依次递推，则有A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，故 Bα₁=(A⁵—4A³+E)α₁=A⁵α₁—4A³α₁+α₁= —2α₁，即α₁是矩阵B的属于特征值—2的特征向量。由关系式B=A⁵—4A³+E及A的三个特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃= —2得B的三个特征值为μ₁= —2，μ₂=1，μ₃=1。设α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α₁与α₂，α₃正交，即α₁^Tα₂=0，α₁^Tα₃=0。因此α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 [*] 得其基础解系为[*]，故可取α₂=[*]。 B的全部特征向量为[*]，其中k₁≠0，k₂，k₃不同时为零。

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

考研数学一

(11年)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且(I)求A的所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．

设a为大于零的常数，则级数()

设X，Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则Z=min{X，Y}的分布函数是()

级数的和为_________．

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：(I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．

微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．

设α1=(1，0，-1，2)，α2=(2，-1，-2，6)，α3=(3，1，t，4)，β=(4，-1，-5，10)，已知β不能由α1，α2，α3线性表示，则t=()

已知抛物线y=ax2+bx(其中a0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?

设事件A，B，C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则()．

证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过·

要求围绕一个核心组织教学内容和教学活动的是（）

设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为()。

对《伤寒论》“少阴病下利清谷，里寒外热，手足厥逆，脉微欲绝，身反不恶寒，其人面色赤”病证应采用的治疗方法是

男性，60岁，发现糖尿病15年，化验尿蛋白(+++)，RBC0～2个／HP，肾穿刺可见K—W结节。最可能的诊断为

以下属于地铁优点的是()。

在四冲程汽油机工作过程中，将燃气内能转化成机械能的冲程是()。

“仁者见仁，智者见智”，是对客观真理的否定。（）

Childrenmodelthemselveslargelyontheirparents.Theydosomainlythroughidentification.Childrenidentify【C1】______apa

在查询设计器环境中，“查询”菜单下的“查询去向”不包括()。

若i、j已定义为int型，则以下程序段中内循环的总的执行次数是()　　for(i＝5；i＞0；i--)　　for(j＝0;j＜4；j++){…}

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

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设a为大于零的常数，则级数()

设X，Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则Z=min{X，Y}的分布函数是()

级数的和为_________．

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：(I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．

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设α1=(1，0，-1，2)，α2=(2，-1，-2，6)，α3=(3，1，t，4)，β=(4，-1，-5，10)，已知β不能由α1，α2，α3线性表示，则t=()

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若i、j已定义为int型，则以下程序段中内循环的总的执行次数是() for(i＝5；i＞0；i--) for(j＝0;j＜4；j++){…}

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