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  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式[xy(1＋y)－f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式[xy(1＋y)－f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

admin2019-01-24  48
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式[xy(1＋y)－f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．
选项
答案由题设知存在可微函数u(x，y)，使 du(x，y)＝[xy(1＋y)－f(x)y]dx＋Ef(x)＋x2y]dy， 于是知[*] 又因f(x)具有一阶连续导数，故[*]连续且相等，于是有 [*] x＋2xy－f(x)＝f＇(x)＋2xy， 即 f＇(x)＋f(x)＝x， 此为一阶线性微分方程，结合条件f(0)＝0解得f(x)＝x－1＋e－x． 所以 du(x，y)＝[xy(1＋y)－y(x－1＋e－x)]dx＋(x－1＋e－x＋x2y)dy ＝(xy2＋y－ye－x)dx＋(x－1＋e－x＋x2y)dy． 由du(x，y)的表达式求u(x，y)有多种方法． 法一 凑原函数法．此方法有技巧性，要求读者对用全微分形式不变性求微分相当熟练． du(x，y)＝(xy2＋y－ye－x…)dx＋(x－1＋e－x＋x2y)dy ＝(xy2dx＋x2ydy)＋(－ye－xdx＋e－xdy)＋(ydx＋xdy)－dy ＝xyd(xy)＋d(ye－x)＋d(xy)－dy [*] 所以[*](C为任意常数)． 法二 偏积分法．由du(x，y)的表达式知 [*] 其中φ(y)对y可微．由题设知[*] 于是有 x2y＋x＋e－x＋φ＇(y)＝x－1＋e－x＋x2y， 则φ＇(y)＝-1，即φ(y)＝－y＋C(C为任意常数)． 所以[*](C为任意常数)． 法三 用第二型曲线积分求原函数．由所给的du(x，y)知，[*]中的 P(x，y)与Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且[*]． 故可以用第二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算 [*] 由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)→(0，y)→(x，y)，于是 [*]
解析
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考研数学一

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