2. 考研
  3. 设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

admin2015-11-16  29
问题 设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y＝x＋1相切；
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。
选项
答案解 Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 [*] 显然Vy中含两个参数a与b，下求出a与b的关系。 因Γ与直线y＝x＋1相切，即相交又相切,设切点为(x0，y0)，则在切点处两曲线的函数值相同，且其斜率相等，因而有 [*] 解之得[*]＝4(1－a) 将上述关系代入Vy中，则Vy仅含一个参数a，即 Vy＝2π(a2－a3)。 令( Vy)’a＝0得a＝2／3，因而b＝3／4，而当a＝2／3时，因 [*]＝2π(2－4)＜0， 故当a＝2／3，b＝3／4时，Γ与直线y＝x＋1相切，且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大。
解析
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考研数学一

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