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  3. 设二元函数f(x，y)=，计算二重积分f(x，y)dσ．其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．

设二元函数f(x，y)=，计算二重积分f(x，y)dσ．其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．

admin2022-07-21  3
问题 设二元函数f(x，y)=，计算二重积分f(x，y)dσ．其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．
选项
答案[*] 积分区域D如图2-6-6所示．D分别关于x轴和y轴对称，设D1是D在第一象限中的部分，即D1=D∩{(x，y)｜x≥0，y≥O}．被积函数f(x，y)关于x，y均为偶函数，从而按二重积分的简化计算法则可得 [*] 设D11={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，D12={(x，y)｜1≤x+y≤2，x≥0，y≥0)，那么D1=D11+D12．于是 [*] 由于D11={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x}，故 [*] 为计算D12上的二重积分，可引入极坐标(ρ，θ)满足x=ρcosθ，y=ρsinθ．在极坐标系(ρ，θ)中x+y=1的方程是[*]，而x+y=2的方程是[*]，因而 [*]
解析
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考研数学一

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