设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多解?当有无穷多解时,求出其全部解,并用基础解系表示全部解.

admin2016-10-20  41

问题 设齐次线性方程组

其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多解?当有无穷多解时,求出其全部解,并用基础解系表示全部解.

选项

答案对系数矩阵作初等行变换,把第1行的-1倍分别加至第2行到第n行,有 [*] (Ⅰ)如果a=b,方程组的同解方程组是x1+x2+…+xn=0. 由于n-r(A)=n-1,取自由变量为x2,x3,…,xn,得到基础解系为: α1=(-1,1,0,…,0)T,α2=(-1,0,1,…,0)T,…,αn-1=(-1,0,0,…,1)T. 方程组通解是:k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1,其中k1,k2,…,kn-1为任意常数. (Ⅱ)如果a≠b,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] 若a≠(1-n)b,则秩r(A)=n,此时齐次方程组只有零解. 若a=(1-n)b,则秩r(A)=n-1.取x1为自由变量,则基础解系为α=(1,1,…,1)T,于是方程组的通解是:kα,其中k为任意常数.

解析
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