(1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分dz|x0-y0的定义; (2)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则fx’(x0,y0)与fy’(x0,y0)都存在,且dz|x0-y0=fx’(

admin2018-09-25  35

问题 (1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分dz|x0-y0的定义;
    (2)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则fx’(x0,y0)与fy’(x0,y0)都存在,且dz|x0-y0=fx’(x0,y0)△x+fy’(x0,y0)△y;
    (3)请举例说明(2)的逆定理不成立.

选项

答案(1)定义:设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U内有定义,且(x0+△x,y0+△y)∈U,则增量 △z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)[*]A△x+B△y+o(ρ), (*) 其中A,B与△x,△y都无关, [*] 则称f(x,y)在点(x0,y0)处可微, 并称A△x+B△y为z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记为dz|(x0,y0)=A△x+B△y. (2)设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则(*)式成立,令△y=0,于是 [*] 证明了fx’(x0,y0)与fy’(x0,y0)存在,并且dz|(x0,y0)=fx’(x0,y0)△x+fy’(x0,y0)△y. (3)(2)的逆定理不成立,反例 [*] fy’ (0,0)=0都存在,但在点(0,0)处f(x,y)不可微.

解析
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