已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )

admin2018-11-22 28

问题已知向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_s线性无关，(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_t线性无关，且(Ⅰ)中任一向量α_i(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量β_j(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )

选项 A、α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t必线性相关．
B、α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t必线性无关．
C、α_s，β₁，β₂，…，β_t必线性相关．
D、α₁，α₂，…，α_s，β_t必线性无关．

答案D

解析假设α₁，α₂，…，α_s，β_t线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，k_s+1使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s+α_s+1β_t=0，
其中是k_s+1=0(若k≠0，则β_t=

(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)与(Ⅱ)中任一向量不能由(Ⅰ)线性表示矛盾)．
因α₁，α₂，…，α_s线性无关，从而得k_i=0，i=1，2，…，s．这和假设矛盾，故α₁，α₂，…，α_s，β_t线性无关，即D正确．
同理可知α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，故C错误．
向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t可能线性相关，也可能线性无关，例：(Ⅰ)α₁=(1，0，0)，α₂=(1，1，0)线性无关，(Ⅱ)β₁=(0，0，1)，β₂=(0，1，1)线性无关，且α₂，α₂均不能由β₁，β₂线性表出，β₁，β₂均不能由α₁，α₂线性表出，但α₁，α₂，β₁，β₂是四个三维向量，必线性相关，故B不能成立．
再比如(Ⅰ)α₁=(1，0)线性无关，(Ⅱ)β₁=(0，1)线性无关，且不能互相表出，但{α₁，β₁}是线性无关的，故A也不成立．

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