设α=[a1,a2,…,a2]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ.

admin2018-09-25  18

问题 设α=[a1,a2,…,a2]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ.

选项

答案(1)先求A的特征值. 利用特征值的定义. 设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=αTαξ=λξ. (*) 若αTξ=0,6则λξ=0,又ξ≠0,故λ=0; 若αTξ≠0,(*)式两端左边乘αT,得αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ). 因αTξ≠0,故λ=αTα= [*] (2)再求A的对应于λ的特征向量. 因为A=ααT,当λ=0时,(λE-A)X=-ααTX=0,因为满足αTX=0的X必满足ααTX=0,故当λ=0时,对应的特征方程是a1x1+a2x2+…+anxn=0.对应λ=0的n-1个特征向量为 ξ1=[a2,-a1,…,0]T, ξ2=[3,0,-a1,0]T, …… ξn-1=[an,0,0,…,-a1]T. 当λ=[*]=αTα时,对矩阵λE-A=αTαE-ααT两端右边乘α,得 (λE-A)α=(αTαE-ααT)α=(αTα)α-α(αTα)=0, 故知α=[a1,a2,…,an]T即是所求ξn. (3)最后由ξ1,ξ2,…,ξn,得可逆矩阵P. [*]

解析
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