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  3. 过点P(1，0)作曲线的切线，求： (Ⅰ)该切线与曲线及x轴围成的平面图形的面积； (Ⅱ)该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积； (Ⅲ)该平面图形绕直线y=-1旋转一周所成旋转体体积．

过点P(1，0)作曲线的切线，求： (Ⅰ)该切线与曲线及x轴围成的平面图形的面积； (Ⅱ)该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积； (Ⅲ)该平面图形绕直线y=-1旋转一周所成旋转体体积．

admin2017-10-25  37
问题 过点P(1，0)作曲线的切线，求：
(Ⅰ)该切线与曲线及x轴围成的平面图形的面积；
(Ⅱ)该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积；
(Ⅲ)该平面图形绕直线y=-1旋转一周所成旋转体体积．
选项
答案(Ⅰ)设切点坐标为(x0，y0)，y0=[*]，则切线方程为 [*] 由题意要求其过点(1，0)，解得x0=3，y0=1，所求切线方程化简为 y=[*](x-1)． 为求面积，若分割x轴上区间[1，3]，则由于上、下曲线的情况不同，必须分成[1，2]、[2，3]分别计算， 可得 [*] 若分割y轴上区间[0，1]，则右曲线为x=y2+2，左曲线为x=3+2(y-1)，从而得 S=∫01{(y2+2)-[3+2(y-1)]}dy=[*] (Ⅱ)如图3-2所示，所求旋转体体积，即为由三角形ACD绕x轴旋转所成的圆锥体体积，减去抛物曲线[*]和线[*]围成的图形绕x轴旋转所成旋转体体积V0．在求全旋转体体积V0时，将区间[2，3]划分成n等份，每个小分割近似看成矩形，则其旋转后近似为圆柱体，其体积为因此V0体积为 [*](xi-2)△xi=∫33π(x-2)dx. 因此，所求体积为 [*] (Ⅲ)如图3-3所示，所求体积可看成由三角形abc绕y=-1旋转所成的体积V1，加上曲边图形bcd绕y=-1旋转所成的体积V2．求旋转体的体积V1时，分割区间[1，2]，每个小分割近似看成矩形，绕y=-1旋转所成旋转体近似为圆环柱体，其体积为 [*] 所求体积为V1+V2 [*]
解析 本题图形如图3-1所示，切线、曲线、x轴围成一平面图形；还可看出必须先求出曲线上的切点坐标，然后用分割、近似、取和、求极限的步骤表达出该图形的面积．
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考研数学一

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