2. 考研
  3. 设f(χ)在(－∞，＋∞)是连续函数， (Ⅰ) 求初值的解y＝φ(χ)； (Ⅱ) 求证y(χ)＝∫0χφ(t)f(χ－t)dt是初值问题的解； (Ⅲ) 求y〞＋y′＝f(χ)的通解．

设f(χ)在(－∞，＋∞)是连续函数， (Ⅰ) 求初值的解y＝φ(χ)； (Ⅱ) 求证y(χ)＝∫0χφ(t)f(χ－t)dt是初值问题的解； (Ⅲ) 求y〞＋y′＝f(χ)的通解．

admin2018-06-12  46
问题 设f(χ)在(－∞，＋∞)是连续函数，
    (Ⅰ)  求初值的解y＝φ(χ)；
    (Ⅱ)  求证y(χ)＝∫0χφ(t)f(χ－t)dt是初值问题的解；
    (Ⅲ)  求y〞＋y′＝f(χ)的通解．
选项
答案(Ⅰ)作为二阶线性常系数齐次方程的初值问题来求解． 特征方程λ2＋λ＝0，特征根λ＝0，λ＝－1，于是通解为y＝C1＋C2e－χ．由初值[*]C1＝1，C2＝－1．因此， y＝φ(χ)＝1－e－χ． (Ⅱ)将φ(χ)＝1－e－χ代入y(χ)表达式得 y(χ)＝∫0χ(1－e－t)f(χ－t)dt． ① 下证y(χ)满足方程与初值，就要计算y′(χ)与y〞(χ).y(χ)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含参变量χ，故先作变量替换 y(χ)＝[*]∫0χ(1－es－χ)f(s)ds＝∫0χf(s)ds－e－χ∫0χesf(s)ds． 现可用变限积分求导法得 y′(χ)＝f(χ)－e－χeχf(χ)＋e－χ∫0χesf(s)ds＝e－χ∫0χesf(s)ds， ② y〞(χ)＝－e－χ∫0χesf(s)ds＋f(χ)． 两式相加得y〞＋t′＝f(χ)． 在①，②中令χ＝0得y(0)＝0，y′(0)＝0． (Ⅲ)由二阶线性非齐次方程通解的结构，并用题(Ⅰ)与题(Ⅱ)知，y〞＋y′＝f(χ)的通解是 y＝C1＋C2e－χ＋∫0χ(1－e－t)f(χ－t)dt．
解析
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考研数学一

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