(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19 48

问题 (2012年试题，三)已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2，
(1)求实数α的值；
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵A^TA的秩也为2,｜A^TA｜=0，[*]=(a²+3)(a+1)²=0，得a=一1(2)将a=一1代入A^TA中，得[*][*]得A^TA的特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6．分别将特征值λ₁，λ₂，λ₃代入(A^TE—A^TA)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ₁=(1，1，一1)^Tξ₂=(1，一1，0)^Tξ₃=(1，1，2)^T再分别将ξ₁,ξ₂,ξ₃单位化，得[*]则令Q=(η₁，η₂，η₃)，则(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x=(Qy)^T(A^TA)(Qy)=y^TQ^TA^TAQy=2y₂²+6y₃²即为f的标准形．

解析

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考研数学二

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(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

考研数学二

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵。证明(A)T=(AT)*。

函数F(χ)＝(χ∈(－∞，＋∞))的值域区间是_______．

设f(x)二阶可导，且f(0)=0，令g(x)=(Ⅰ)确定a的取值，使得g(x)为连续函数；(Ⅱ)求gˊ(x)并讨论函数gˊ(x)的连续性．

下列二元函数在点(0，0)处可微的是

设f〞(χ)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ－(b－a)f〞(ξ)．

设u=u(x，y)由方程组确定，其中φ(v)，ψ(v)有连续的二阶导数且yφ"(v)+ψ"(v)≠0，求证：

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

数列极限I=n2[arctan(n+1)—arctann]=___________．

求极限＝_______．

设函数f(x)处处可导，且0≤f’(x)≤(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{x0}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

下列作品，体现“含泪的微笑”独特风格的是

下列哪项血气分析变化符合Ⅱ型呼吸衰竭

患者，男性，65岁，因脑血栓后遗症，长期卧床，生活不能自理，入院时护士发现其骶尾部皮肤发红，除去压力无法恢复原来的肤色，护士使用50％乙醇按摩局部皮肤的作用是

下列关于房地产经纪机构的经营模式的说法中，不正确的是()。

下列对危险环境分区正确的有（）。

可以申请参加一级建造师执业资格考试，下列条件中正确的是()。

清代素菜的派别不包括()。

有以下程序structS{inta；intb；}；main(){structSa，*p=&a；a．a=99；printf("％d＼n"，___________)；}程序要求输出结构体中成员a的数据

Whatisthepassagemainlyabout?Whatwillhappenintheyearof2030?

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设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

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