设函数f(x)在闭区间[一a,a](a>0)上具有三阶连续导数,且f(一a)=一a,f(a)=a,f′(0)=0.证明:在开区间(一a,a)内至少存在一点ξ,使a。f"(ξ)=6.

admin2020-05-02  29

问题 设函数f(x)在闭区间[一a,a](a>0)上具有三阶连续导数,且f(一a)=一a,f(a)=a,f′(0)=0.证明:在开区间(一a,a)内至少存在一点ξ,使a。f"(ξ)=6.

选项

答案方法一 由麦克劳林公式,对任意x∈[-a,a],有 [*] ξ介于0和x之间. 分别令x=-a与a,由f′(0)=0,得 [*] 以上两式相减,得[*]即 [*] 由于f"′(x)在[ξ1,ξ2]上连续,故f"′(x)在[ξ1,ξ2]上必存在最大值M与最小值m,因此 [*] 由闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点ξ∈[ξ1,ξ2][*](-a,a),使 [*] 即a2f"′(ξ)=6 方法二 令[*]则F(-a)=F(0)=F(a)=0.分别在[-a,0]与[0,a]上对F(x)使用罗尔中值定理,知存在ξ1∈(-a,0)与ξ2∈(0,a),使 F′(ξ1)=F′(ξ2)=0 又 [*] 分别在[ξ1,0]与[0,ξ2]上对F′(x)使用罗尔中值定理,知存在η1∈(ξ1,0),η2∈(0,ξ2),使 F"(η1)=F"(η2)=0 在[η1,η2]上对F"(x)用罗尔中值定理,知存在ξ∈[η1,η2][*](-a,a),使F"′(ξ)=0,而[*]故有a2f"′(ξ)=6.

解析
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