2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[一a，a](a＞0)上具有三阶连续导数，且f(一a)=一a，f(a)=a，f′(0)=0．证明：在开区间(一a，a)内至少存在一点ξ，使a。f"(ξ)=6．

设函数f(x)在闭区间[一a，a](a＞0)上具有三阶连续导数，且f(一a)=一a，f(a)=a，f′(0)=0．证明：在开区间(一a，a)内至少存在一点ξ，使a。f"(ξ)=6．

admin2020-05-02  29
问题 设函数f(x)在闭区间[一a，a](a＞0)上具有三阶连续导数，且f(一a)=一a，f(a)=a，f′(0)=0．证明：在开区间(一a，a)内至少存在一点ξ，使a。f"(ξ)=6．
选项
答案方法一 由麦克劳林公式，对任意x∈[－a，a]，有 [*] ξ介于0和x之间． 分别令x=－a与a，由f′(0)=0，得 [*] 以上两式相减，得[*]即 [*] 由于f"′(x)在[ξ1，ξ2]上连续，故f"′(x)在[ξ1，ξ2]上必存在最大值M与最小值m，因此 [*] 由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点ξ∈[ξ1，ξ2][*](－a，a)，使 [*] 即a2f"′(ξ)=6 方法二 令[*]则F(－a)=F(0)=F(a)=0．分别在[－a，0]与[0，a]上对F(x)使用罗尔中值定理，知存在ξ1∈(－a，0)与ξ2∈(0，a)，使 F′(ξ1)=F′(ξ2)=0 又 [*] 分别在[ξ1，0]与[0，ξ2]上对F′(x)使用罗尔中值定理，知存在η1∈(ξ1，0)，η2∈(0，ξ2)，使 F"(η1)=F"(η2)=0 在[η1，η2]上对F"(x)用罗尔中值定理，知存在ξ∈[η1，η2][*](－a，a)，使F"′(ξ)=0，而[*]故有a2f"′(ξ)=6．
解析
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考研数学一

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