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(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解
(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解
admin
2013-12-27
33
问题
(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关，α
1
=2α
2
一α
3
．如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组Ax=β的通解
选项
答案
根据题设α
2
,α
3
,α
4
线性无关且α
1
=2α
2
一α
3
，因此rA=3，同时β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，则方程组Ax=β的增广矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
，β)的秩也为3，即rB=3，因此方程组Ax=β有解，由4一rA=1，知Ax=β有无穷多解，且Ax=0的解空间维数等于1，即基础解系中只含一个解向量，又由已知α
1
=2α
2
一α
3
，即α
1
一2α
2
+α
3
=0，可推出[*]从而[*]是Ax=0的一个解向量，因此[*]是Ax=0的基础解系．同时由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，可推出[*]是Ax=β的一个特解，从而方程组Ax=β通解为[*]其中C为任意常数． 解析二令[*]则由β=Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]得，x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
一α
3
代λ上式得，(2x
1
+x
2
—3)α
2
+(一x
1
+x
3
)α+(x
4
—1)α
4
=0因α
2
,α
3
,α
4
线性无关，故而有 [*] 解上述方程组得 [*] 其中k为任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/0GcRFFFM
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考研数学一
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